Question

【題目】如圖所示，在五棱錐中，側(cè)面底面，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，四邊形為正方形，，且，是的重心，是正方形的中心.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）

【解析】

（1）證明線(xiàn)面平行，轉(zhuǎn)化為線(xiàn)線(xiàn)平行．取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，即可．（2）求二面角的余弦值，以為原點(diǎn)，以方向?yàn)?/span>軸正方向，以方向?yàn)?/span>軸正方向，以方向?yàn)?/span>軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系即可．

（Ⅰ）取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，，易知，，，四點(diǎn)共線(xiàn).

由，且，可知為等腰直角三角形，所以.

因?yàn)?/span>是正方形的中心，所以.

所以，所以.又是的重心，所以.

所以，故.又因?yàn)?/span>平面，平面.

所以平面.

（Ⅱ）解法一：因?yàn)?/span>為中點(diǎn)，是正三角形，所以.

因?yàn)閭?cè)面底面，且交線(xiàn)為，所以底面.所以直線(xiàn)，，兩兩垂直.

如圖，以為原點(diǎn)，以方向?yàn)?/span>軸正方向，以方向?yàn)?/span>軸正方向，以方向?yàn)?/span>軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.

則，，，.所以，，.

設(shè)平面的法向量為，

則令，則.

設(shè)平面的法向量為，

則，令，則.

所以.

結(jié)合圖可知，二面角的余弦值為.

解法二：取，中點(diǎn)分別為，，連接，，則.

又側(cè)面底面，，側(cè)面底面，所以平面.

又平面，所以，所以.

又，，所以，所以.

所以為二面角的平面角.

易知，所以.因?yàn)?/span>，，

所以，所以.

即二面角的余弦值為.