Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短軸長(zhǎng)與焦距相等，且過(guò)定點(diǎn)(1，

2

2

)，傾斜角為

π

4

的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）確定直線l在y軸上截距的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（I）由橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短軸長(zhǎng)與焦距相等，且過(guò)定點(diǎn)(1，

2

2

)，可得2b=2c，

1

a2

+

1

2b2

=1，a²=b²+c²，解出即可．
（II））設(shè)直線l的方程為y=x+m．與橢圓的方程聯(lián)立化為，化為3x²+4mx+2m²-2=0．由于直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，可得△＞0，解出即可．

解答： 解：（I）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短軸長(zhǎng)與焦距相等，且過(guò)定點(diǎn)(1，

2

2

)，
∴2b=2c，

1

a2

+

1

2b2

=1，a²=b²+c²，
解得b²=1，a²=2．
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．
（II）設(shè)直線l的方程為y=x+m．
聯(lián)立

y=x+m x2+2y2=2

，化為3x²+4mx+2m²-2=0，
∵直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，
∴△＞0，
∴16m²-12（2m²-2）＞0，
化為m²＜3．
解得-

3

＜m＜

3

．
∴直線l在y軸上截距的范圍是(-

3

，

3

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得△＞0，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．