Question

如圖，A，B，C是橢圓M：上的三點(diǎn)，其中點(diǎn)A是橢圓的右頂點(diǎn)，BC過(guò)橢圓M的中心，且滿足AC⊥BC，BC＝2AC。

（1）求橢圓的離心率；

（2）若y軸被△ABC的外接圓所截得弦長(zhǎng)為9，求橢圓方程。

Answer 1

（1）（2）

【解析】

試題分析：（1）有條件列出C點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015071506043039879641/SYS201507150604334769941624_DA/SYS201507150604334769941624_DA.003.png">過(guò)橢圓的中心，所以，又，所以是以角為直角的等腰直角三角形，則所以，則，（2）本題關(guān)鍵為表示出△ABC的外接圓方程：的外接圓直徑為AB,所以易得的外接圓為：，由垂徑定理得即，所以橢圓方程為．

試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015071506043039879641/SYS201507150604334769941624_DA/SYS201507150604334769941624_DA.003.png">過(guò)橢圓的中心，所以，

又，所以是以角為直角的等腰直角三角形， 3分

則，所以，則，

所以； 7分

（2）的外接圓圓心為中點(diǎn)，半徑為，

則的外接圓為： 10分

令，或，所以，得，

（也可以由垂徑定理得得）

所以所求的橢圓方程為． 15分

考點(diǎn)：橢圓方程，橢圓離心率

考點(diǎn)分析： 考點(diǎn)1：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 考點(diǎn)2：橢圓的幾何性質(zhì) 試題屬性

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