Question

已知二次函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過坐標原點，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x）=6x-2，數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，點（n，S_n）（n∈N^*）均在函數(shù)y=f（x）的圖象上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=

3

anan+1

，Tn是數(shù)列{b_n}的前n項和，求T_n的范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)這二次函數(shù)f（x）=ax²+bx（a≠0），根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求得f（x）的表達式，再根據(jù)點（n，S_n）（n∈N^*）均在函數(shù)y=f（x）的圖象上，求出a_n的遞推關(guān)系式，
（2）把（1）題中a_n的遞推關(guān)系式代入b_n，根據(jù)裂項相消法求得T_n，解得求取值范圍．

解答： 解：（1）設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx，則f'（x）=2ax+b，由于f'（x）=6x-2，所以a=3，b=-2，所以f（x）=3x²-2x．   
又點(n，Sn)(n∈N*)均在函數(shù)y=f（x）的圖象上，所以Sn=3n2-2n．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=6n-5，當n=1時，a₁=S₁=1，也適合a_n=6n-5．
所以a_n=6n-5（n∈N*）．
（2）由（1）得bn=

3

anan+1

=

3

(6n-5)(6n+1)

=

1

2

(

1

6n-5

-

1

6n+1

)．   
故Tn=

n

i=1

bi=

1

2

[(1-

1

7

)+(

1

7

-

1

13

)+…+(

1

6n-5

-

1

6n+1

)]=

1

2

(1-

1

6n+1

)．
∴

3

7

＜T_n＜

1

2

．

點評：本題主要考查二次函數(shù)、等差數(shù)列、數(shù)列求和、等基礎(chǔ)知識和基本的運算技能，考查分析問題的能力和推理能力，屬于中檔題．