Question

（本題滿分12分）翡翠市場(chǎng)流行一種賭石“游戲規(guī)則”：翡翠在開采出來時(shí)有一層風(fēng)化皮包裹著，無法知道其內(nèi)的好壞，需切割后方能知道翡翠的價(jià)值，參加者先繳納一定金額后可得到一塊翡翠石并現(xiàn)場(chǎng)開石驗(yàn)證其具有的收藏價(jià)值，其舉辦商在賭石游戲中設(shè)置了甲乙兩種賭石規(guī)則，規(guī)則甲的賭中率為，賭中后可獲得20萬元；規(guī)則乙的賭中率為，賭中后可獲得30萬元；未賭中則沒有收獲，每人有且只有一次賭石機(jī)會(huì)，每次賭中與否互不影響，賭石結(jié)束后當(dāng)場(chǎng)得到兌現(xiàn)金額.

（1）收藏者張先生選擇規(guī)則甲賭石，收藏者李先生選擇規(guī)則乙賭石，記他們的累計(jì)獲得金額數(shù)為(單位：萬元)，若的概率為，求的大��；

（2）若收藏者張先生李先生都選擇賭石規(guī)則甲或賭石規(guī)則乙進(jìn)行賭石，問：他們選擇何種規(guī)則賭石，累積得到的金額的數(shù)學(xué)期望最大？

Answer 1

（1）

（2）當(dāng)時(shí)，他們都選擇規(guī)則甲進(jìn)行賭石時(shí)，累計(jì)得到金額的數(shù)學(xué)期望最大；當(dāng)時(shí)，他們都選擇規(guī)則乙進(jìn)行賭石時(shí)，累計(jì)得到金額的數(shù)學(xué)期望最大；當(dāng)時(shí)，他們都選擇規(guī)則甲或規(guī)則乙進(jìn)行賭石時(shí)，累計(jì)得到金額的數(shù)學(xué)期望相等.

【解析】

試題分析：第（1）問是理解對(duì)立事件及其概率的計(jì)算，即若“2人的累計(jì)獲得金額數(shù)為（單位：萬元）”的事件為，則事件的對(duì)立事件為“”；

第（2）問是考查離散型隨機(jī)變量的期望值，通過對(duì)期望值的計(jì)算，比較期望值的大小得到求解問題的決策.

試題解析：（1）由已知得收藏者張先生賭中的概率為，收藏者李先生賭中的概率為，且兩人

賭中與否互不影響．記“這2人的累計(jì)獲得金額數(shù)為（單位：萬元）”的事件為，則事件的對(duì)立事件為“”．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015070706122052893284/SYS201507070613507824432366_DA/SYS201507070613507824432366_DA.010.png">，所以，求得．

（2）設(shè)收藏者張先生、李先生都選擇規(guī)則甲賭中的次數(shù)為，都選擇規(guī)則乙賭中的次數(shù)

為，則這兩人選擇規(guī)則甲累計(jì)獲獎(jiǎng)得金額的數(shù)學(xué)期望為，選擇規(guī)則乙累計(jì)獲獎(jiǎng)得金額的

數(shù)學(xué)期望為．

由已知可得，，，所以，，

從而，．

若，則，解得；

若，則，解得；

若，則，解得．

綜上所述，當(dāng)時(shí)，他們都選擇規(guī)則甲進(jìn)行賭石時(shí)，累計(jì)得到金額的數(shù)學(xué)期望最大；當(dāng)

時(shí)，他們都選擇規(guī)則乙進(jìn)行賭石時(shí)，累計(jì)得到金額的數(shù)學(xué)期望最大；當(dāng)時(shí)，他們都選擇規(guī)則甲或規(guī)則乙進(jìn)行賭石時(shí)，累計(jì)得到金額的數(shù)學(xué)期望相等.

考點(diǎn)：二項(xiàng)分布，隨機(jī)變量的均值.