Question

（本題滿分12分）翡翠市場流行一種賭石“游戲規(guī)則”：翡翠在開采出來時有一層風化皮包裹著，無法知道其內(nèi)的好壞，需切割后方能知道翡翠的價值，參加者先繳納一定金額后可得到一塊翡翠石并現(xiàn)場開石驗證其具有的收藏價值，其舉辦商在賭石游戲中設置了甲乙兩種賭石規(guī)則，規(guī)則甲的賭中率為，賭中后可獲得20萬元；規(guī)則乙的賭中率為，賭中后可獲得30萬元；未賭中則沒有收獲，每人有且只有一次賭石機會，每次賭中與否互不影響，賭石結(jié)束后當場得到兌現(xiàn)金額.

（1）收藏者張先生選擇規(guī)則甲賭石，收藏者李先生選擇規(guī)則乙賭石，記他們的累計獲得金額數(shù)為(單位：萬元)，若的概率為，求的大小；

（2）若收藏者張先生李先生都選擇賭石規(guī)則甲或賭石規(guī)則乙進行賭石，問：他們選擇何種規(guī)則賭石，累積得到的金額的數(shù)學期望最大？

Answer 1

（1）

（2）當時，他們都選擇規(guī)則甲進行賭石時，累計得到金額的數(shù)學期望最大；當時，他們都選擇規(guī)則乙進行賭石時，累計得到金額的數(shù)學期望最大；當時，他們都選擇規(guī)則甲或規(guī)則乙進行賭石時，累計得到金額的數(shù)學期望相等.

【解析】

試題分析：第（1）問是理解對立事件及其概率的計算，即若“2人的累計獲得金額數(shù)為（單位：萬元）”的事件為，則事件的對立事件為“”；

第（2）問是考查離散型隨機變量的期望值，通過對期望值的計算，比較期望值的大小得到求解問題的決策.

試題解析：（1）由已知得收藏者張先生賭中的概率為，收藏者李先生賭中的概率為，且兩人

賭中與否互不影響．記“這2人的累計獲得金額數(shù)為（單位：萬元）”的事件為，則事件的對立事件為“”．

因為，所以，求得．

（2）設收藏者張先生、李先生都選擇規(guī)則甲賭中的次數(shù)為，都選擇規(guī)則乙賭中的次數(shù)

為，則這兩人選擇規(guī)則甲累計獲獎得金額的數(shù)學期望為，選擇規(guī)則乙累計獲獎得金額的

數(shù)學期望為．

由已知可得，，，所以，，

從而，．

若，則，解得；

若，則，解得；

若，則，解得．

綜上所述，當時，他們都選擇規(guī)則甲進行賭石時，累計得到金額的數(shù)學期望最大；當

時，他們都選擇規(guī)則乙進行賭石時，累計得到金額的數(shù)學期望最大；當時，他們都選擇規(guī)則甲或規(guī)則乙進行賭石時，累計得到金額的數(shù)學期望相等.

考點：二項分布，隨機變量的均值.