Question

已知F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線x²-

y2

b2

=1的左右焦點(diǎn)，A是雙曲線在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，若|AF₂|=4且∠F₁AF₂=60°，延長AF₂交雙曲線右支于點(diǎn)B，則△F₁AB的面積等于

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)雙曲線的定義，得|AF₁|-|AF₂|=2a=2，△AF₁F₂中根據(jù)余弦定理算出|F₁F₂|²，從而得到c²=7．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由直線AB方程與雙曲線方程聯(lián)解，可得B的坐標(biāo)，由△F₁AB的面積S=

1

2

×2c×|y₁-y₂|，計(jì)算即可得到．

解答： 解：如圖所示，由雙曲線的方程可知：a=1．
∴|AF₁|-|AF₂|=2，
∵|AF₂|=4，∴|AF₁|=6．
∴|F₁F₂|²=（2c）²=6²+4²-2×6×4×cos60°，
即有c²=7，
∴b²=c²-1=6，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則

(x1-c)2+y12 =4 b2x12-y12=b2

，化為7x₁²-2

7

x₁-15=0，
解得x₁=

5 7

7

，或x₁=-

3 7

7

（舍去）．
由此解出A的坐標(biāo)為（

5 7

7

，

6 21

7

），
直線AB的斜率為k=

6 21 7

5 7 7 - 7

=-3

3

．
設(shè)直線AB方程為y=-3

3

（x-

7

），與雙曲線6x²-y²=6聯(lián)解，
得到B（

13 7

7

，-

18 21

7

），
∴△ABF₁的面積S=

1

2

×2

7

×|y₁-y₂|=

7

×|

6 21

7

+

18 21

7

|=24

3

．
故答案為：24

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出雙曲線的焦點(diǎn)三角形△AF₁F₂的兩邊之長和夾角，求△F₁AB的面積．著重考查了雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線位置關(guān)系和三角形的面積公式等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．