Question

已知數(shù)列{a_n}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a₂+a₄=10，a₃a₅=64．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=2na_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}公比為q＞0，a_n＞0，
∵a₂+a₄=10，a₃a₅=64．
∴

a1q+a1q3=10 a 2 1 q6=64

，解得

a1=1 q=2

，
∴an=1×2n-1=2^n-1．
（2）b_n=2na_n=2n•2^n-1=n•2ⁿ，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)S_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
∴2S_n=2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=

2(2n-1)

2-1

-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．