Question

【題目】如圖在正方體中中，

（1）求異面直線(xiàn)所成的角；

（2）求直線(xiàn)D1B與底面所成角的正弦值；

（3）求二面角大小的正切值.

Answer 1

【答案】(1) ; (2); （3）.

【解析】試題分析：（1）連接AC，AD1，∠AD1C即為BC1與CD1所成角；

（2）DD1⊥平面ABCD，∠D1DB為直線(xiàn)D1B與平面ABCD所成的角；

（3）連接BD交AC于O，則DO⊥AC，∠D1OD為二面角D1﹣AC﹣D的平面角.

試題解析：

（1）連接AC，AD1，如圖所示：

∵BC1∥AD1，

∴∠AD1C即為BC1與CD1所成角，

∵△AD1C為等邊三角形，

∴∠AD1C=60°，

故異面直線(xiàn)BC1與CD1所成的角為60°；

（2）∵DD1⊥平面ABCD，

∴∠D1DB為直線(xiàn)D1B與平面ABCD所成的角，

在Rt△D1DB中，sin∠D1DB==

∴直線(xiàn)D1B與平面ABCD所成角的正弦值為；

（3）連接BD交AC于O，則DO⊥AC，

根據(jù)正方體的性質(zhì)，D1D⊥面AC，

∴D1D⊥AC，D1D∩DO=D，

∴AC⊥面D1OD，∴AC⊥D1O，

∴∠D1OD為二面角D1﹣AC﹣D的平面角．

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，

在直角三角形D1OD中，DO=，DD1=1，

∴tan∠D1OD=．