Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為正方形，點是棱的中點，，平面平面．

（Ⅰ）求證：//平面；

（Ⅱ）求證：平面；

(Ⅲ) 設,試判斷平面⊥平面能否成立；若成立，寫出的一個值（只需寫出結論）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析; （Ⅱ）見解析(Ⅲ) 不能成立.

【解析】試題分析：

(1)由題意可得EO// PC，利用線面平行的判定定理可得PC//平面BDE；

(2) 利用題意證得PC⊥AC,PC⊥BD，結合線面垂直的判定定理即可證得結論；

(3)由空間關系可知面面垂直的關系不能成立.

試題解析：

證明：（Ⅰ）證明：設，連接，

因為底面為正方形，

所以是的中點，又點是棱的中點，

所以EO是的中位線，

所以EO// PC

因為EO平面，平面，

所以PC//平面BDE；

（Ⅱ）證明：(法一）在和中，

因為，，，

所以≌，又點是棱的中點，

所以，

所以

因為平面 平面，平面 平面，

平面

所以平面，

所以EO⊥AC,EO⊥BD,

因為EO//PC

所以PC⊥AC,PC⊥BD,又AC∩BD=O

所以PC⊥平面ABCD．

（法二）連接PO

因為底面ABCD是正方形，

所以O是BD的中點，BD⊥AC,又PB=PD,

所以PO⊥BD,又PO∩AC=O,PO平面PAC,AC平面PAC

所以BD⊥平面PAC

又OE平面PAC, 所以BD⊥OE，

因為平面 平面，平面 平面，

平面

所以平面，

所以EO⊥AC,EO⊥BD,

因為OE∥PC,

所以PC⊥AC,PC⊥BD,又AC∩BD=O

所以所以PC⊥平面ABCD．

(Ⅲ) 不能成立