已知橢圓的離心率為
,且經(jīng)過點(diǎn)
,圓
的直徑為
的長軸.如圖,
是橢圓短軸端點(diǎn),動(dòng)直線
過點(diǎn)
且與圓
交于
兩點(diǎn),
垂直于
交橢圓于點(diǎn)
.
(1)求橢圓的方程;
(2)求 面積的最大值,并求此時(shí)直線
的方程.
(1) (2)
解析試題分析:(1)已知橢圓的離心率為即可得到
與
的關(guān)系式
,再結(jié)合橢圓過點(diǎn)
,代入橢圓方程組成方程組可求解得到橢圓方程; (2) 要求
面積可先求兩個(gè)弦
長度,
是一直線與圓相交得到的弦長,可采用圓的弦長公式
,而
是橢圓的弦長,使用公式
求解,把面積表示成變量
的函數(shù)
, 求其最值時(shí)可用換元法求解.對當(dāng)
斜率為0時(shí)要單獨(dú)討論.
試題解析:(1)由已知得到,所以
,即
.
又橢圓經(jīng)過點(diǎn),故
,
解得,
所以橢圓的方程是
(2)因?yàn)橹本€且都過點(diǎn)
①當(dāng)斜率存在且不為0時(shí),設(shè)直線
,直線
,即
,
所以圓心到直線
的距離為
,所以直線
被圓
所截弦
由得,
,
所以,
,
所以,
令,則
,
,
當(dāng),即
時(shí),等號成立,
故面積的最大值為
,此時(shí)直線
的方程為
,
②當(dāng)斜率為0時(shí),即
,此時(shí)
,
當(dāng)的斜率不存在時(shí),不合題意;
綜上, 面積的最大值為
,此時(shí)直線
的方程為
.
考點(diǎn):直線與圓的位置關(guān)系,弦長公式,換元法求函數(shù)最值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知圓滿足:①截y軸所得弦長為2;②被x軸分成兩段圓弧,其弧長的比為3∶1;③圓心到直線l:x-2y=0的距離為,求該圓的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
AB是圓O的直徑,D為圓O上一點(diǎn),過D作圓O的切線交AB延長線于點(diǎn)C,若DA=DC,求證:AB=2BC.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知?jiǎng)訄A與直線
相切且與圓
:
外切。
(1)求圓心的軌跡
方程;
(2)過定點(diǎn)作直線
交軌跡
于
兩點(diǎn),
是
點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)
的對稱點(diǎn),求證:
;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知圓C的方程為:x2+y2-2mx-2y+4m-4=0.(m∈R).
(1)試求m的值,使圓C的面積最��;
(2)求與滿足(1)中條件的圓C相切,且過點(diǎn)(1,-2)的直線方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知圓C:x2+y2+x-6y+m=0與直線l:x+2y-3=0.
(1)若直線l與圓C沒有公共點(diǎn),求m的取值范圍;
(2)若直線l與圓C相交于P、Q兩點(diǎn),O為原點(diǎn),且OP⊥OQ,求實(shí)數(shù)m的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓:
和圓
:
(1)若直線l過點(diǎn)A(4,0),且被圓C1截得的弦長為2,求直線l的方程;
(2)設(shè)P為平面上的點(diǎn),滿足:存在過點(diǎn)P的無窮多對互相垂直的直線和
,它們分別與圓
和圓
相交,且直線
被圓
截得的弦長與直線
被圓
截得的弦長相等,試求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知圓C經(jīng)過A(1,1)、B(2,)兩點(diǎn),且圓心C在直線l:x-y+1=0上,求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知圓C的半徑為2,圓心在軸正半軸上,直線
與圓C相切
(1)求圓C的方程;
(2)過點(diǎn)的直線
與圓C交于不同的兩點(diǎn)
且為
時(shí)
求:的面積.
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