Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₁＝2，S₆＝22.

(1)求S_n的表達(dá)式；

(2)若從{a_n}中抽取一個(gè)公比為q的等比數(shù)列{ak_n}，其中k₁＝1，且k₁<k₂<…<k_n(k_n∈N^*)．

①當(dāng)q取最小值時(shí)，求{k_n}的通項(xiàng)公式；

②若關(guān)于n(n∈N^*)的不等式6S_n>k_n＋1有解，試求q的值．

Answer 1

(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則S₆＝6a₁＋×6×5d＝22，解得d＝，

所以S_n＝.

(2)①因?yàn)閿?shù)列{a_n}是正項(xiàng)遞增等差數(shù)列，所以數(shù)列{ak_n}的公比q>1，

若k₂＝2，則由a₂＝，得q＝＝，

此時(shí)ak₃＝2·²＝，

由＝(n＋2)，

解得n＝∉N^*，所以k₂>2，同理k₂>3；

若k₂＝4，則由a₄＝4，得q＝2，此時(shí)ak_n＝2·2^n－1，另一方面，ak_n＝(k_n＋2)，所以(k_n＋2)＝2ⁿ，即k_n＝3×2^n－1－2，

所以對(duì)任何正整數(shù)n，ak_n是數(shù)列{a_n}的第3·2^n－1－2項(xiàng)．

所以最小的公比q＝2.

所以k_n＝3·2^n－1－2.

②因?yàn)?i>ak_n＝＝2q^n－1，得k_n＝3q^n－1－2，而q>1，

所以當(dāng)q>1且q∈N時(shí)，所有的k_n＝3q^n－1－2均為正整數(shù)，適合題意；

當(dāng)q>1且q∉N時(shí)，k_n＝3q^n－1－2∈N不全是正整數(shù)，不合題意．

而6S_n>k_n＋1有解，所以>1有解，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)q＝2，q＝3，q＝4時(shí)，n＝1都是>1的解，適合題意；

下面證當(dāng)q≥5時(shí)，>1無(wú)解，

設(shè)b_n＝

則b_n＋1－b_n＝

因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2015/02/10/03/2015021003502635598863.files/image046.jpg'>所以f(n)＝2[(1－q)n²＋(7－5q)n＋7－q]在n∈N^*上遞減，

又因?yàn)?i>f(1)<0，所以f(n)<0恒成立，所以b_n＋1－b_n<0，所以b_n≤b₁恒成立，

又因?yàn)楫?dāng)q≥5時(shí)，b₁<1，所以當(dāng)q≥5時(shí)，6S_n>k_n＋1無(wú)解．

綜上所述，q的取值為2,3,4.