Question

設(shè)直線l：2x+y-2=0與橢圓x²+

y2

4

=1的交點(diǎn)為A、B，點(diǎn)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則使△PAB面積為

1

3

的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：把直線方程與橢圓方程聯(lián)立求得交點(diǎn)A和B的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的面積求出AB邊上的高，設(shè)出P的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出P到直線l的距離即為AB邊上的高，得到關(guān)于a和b的方程，把P代入橢圓方程得到關(guān)于a與b的另一個(gè)關(guān)系式，兩者聯(lián)立利用根的判別式判斷出a與b的值有幾對(duì)即可得到交點(diǎn)有幾個(gè)．

解答： 解：聯(lián)立

2x+y-2=0 x2+ y2 4 =1

，解得

x=0 y=2

或

x=1 y=0

，則A（0，2），B（1，0），
∴AB=

(0-1)2+(2-0)2

=

5

，
∵△PAB的面積為

1

3

，
AB邊上的高為

2 5

15

．
設(shè)P的坐標(biāo)為（a，b），代入橢圓方程得：a²+

b2

4

=1，
P到直線2x+y-2=0的距離d=

|2a+b-2|

5

=

2 5

15

，即6a+3b-8=0或6a+3b-4=0；
聯(lián)立得：

6a+3b-8=0 a2+ b2 4 =1

①或

6a+3b-4=0 a2+ b2 4 =1

②，
把①中的b消去得：18a²-24a+7=0，
∵△=（-24）²-4×18×7=72＞0，∴a有兩個(gè)不相等的根，則對(duì)應(yīng)的b也有兩個(gè)不等的根，滿(mǎn)足題意的P的坐標(biāo)有兩個(gè)；
由②消去b得：18a²-12a-5=0，
∵△=（-12）²+4×18×5＞0，∴a有兩個(gè)不相等的根，則對(duì)應(yīng)的b也有兩個(gè)不等的根，滿(mǎn)足題意的P的坐標(biāo)有兩個(gè)．
綜上，使△PAB面積為

1

3

的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為4．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生會(huì)求直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，靈活運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式化簡(jiǎn)求值．同時(shí)要求學(xué)生會(huì)利用根的判別式判斷方程解的情況，是中檔題．