Question

已知f（x）=cos（ωx+

π

3

）的最小正周期為π，且f（β+

π

3

）=

7

9

，β∈（

π

2

，π）
（1）求cosβ的最小值；
（2）若sin（α+β）=

7

9

，且α∈（0，

π

2

），求sinα的值．

Answer 1

考點：余弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先利用函數(shù)的周期求出函數(shù)的解析式，進一步利用關(guān)系式求出函數(shù)的值．
（2）利用（1）的結(jié)論求出角的范圍，及對應(yīng)的函數(shù)值，進一步通過角的恒等變換求出結(jié)果．

解答： 解：（1）已知f（x）=cos（ωx+

π

3

）的最小正周期為π，
則：T=

2π

ω

=π，
解得：ω=2．
所以：f（x）=cos（2x+

π

3

），
由于：f（β+

π

3

）=

7

9

，
則：cos（2β+π）=

7

9

，
則：1-2cos2β=

2

9

，
cosβ=±

1

3

．
β∈（

π

2

，π），
所以：cosβ=-

1

3

（2）由于：β∈（

π

2

，π），α∈（0，

π

2

），
則：α+β∈(

π

2

，

3π

2

)，sin（α+β）=

7

9

，
解得：cos（α+β）=-

4 2

9

，
由（1）知：cosβ=-

1

3

，
解得：sinβ=

2 2

3

，
所以：sinα=sin[（α+β）-β]=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ
=

1

3

．

點評：本題考查的知識要點：利用周期求函數(shù)的解析式，三角函數(shù)的角的恒等變換，求利用角的范圍求函數(shù)的值，屬于基礎(chǔ)題型．