Question

如圖，正方形ACDE所在的平面與平面ABC垂直，M是CE和AD的交點，AC⊥BC，且AC=BC．
（1）求證：AM⊥平面EBC；
（2）求直線AB與平面EBC所成角的大�。�

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角,空間向量及應(yīng)用

分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)，利用向量法證明線面垂直．
（2）利用向量法求線面角的大小．

解答： 解：∵四邊形ACDE是正方形，所以EA⊥AC，AM⊥EC，
∵平面ACDE⊥平ABC，
∴EA⊥平面ABC，
∴可以以點A為原點，以過A點平行于BC的直線為x軸，
分別以直線AC和AE為y軸和z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz．
設(shè)EA=AC=BC=2，則A（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，0，2），
∵M(jìn)是正方形ACDE的對角線的交點，
∴M（0，1，1）…3

AM

=（0，1，1），

EC

=（0，2，0）-（0，0，2）=（0，2，-2），

CB

=（2，2，0）-（0，2，0）=（2，0，0），
∴

AM

•

EC

=0，

AM

•

CB

=0，
∴AM⊥EC，AM⊥CB，
∴AM⊥平面EBC． …（5分）
（2）∵AM⊥平面EBC，∴

AM

為平面EBC的一個法向量，
∵

AM

=（0，1，1），

AB

=（2，2，0），
∴cos＜

AB

，

AM

＞=

AB • AM

| AM || AB |

=

1

2

．
∴＜

AB

，

AM

＞=60°．
∴直線AB與平面EBC所成的角為30°．…（12分）

點評：本題主要考查向量法證明線面垂直以及利用向量法求線面角的大小，運(yùn)算量較大．