【題目】已知函數(shù)，其中．

（Ⅰ）求函數(shù)的零點個數(shù)；

（Ⅱ）證明： 是函數(shù)存在最小值的充分而不必要條件．

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)化簡可得，對進行討論可得零點個數(shù)；（Ⅱ）可得時，無極值；結合（Ⅰ）可得時， 的極小值為，而當時， 恒成立，可得極小值即為最小值，故充分性成立，可以舉出反例當時，必要性不成立.

試題解析：（Ⅰ）由，得．

令，得，或．

所以當時，函數(shù)有且只有一個零點： ；當時，函數(shù)有兩個相異的零點： ， ．

（Ⅱ）① 當時， 恒成立，此時函數(shù)在上單調遞減，

所以，函數(shù)無極值．

② 當時， ， 的變化情況如下表：

↘

極小值

↗

極大值

↘

所以， 時， 的極小值為．

又時， ，

所以，當時， 恒成立．

所以， 為的最小值．

故是函數(shù)存在最小值的充分條件．

③ 當時， ， 的變化情況如下表：

↘

極小值

↗

極大值

↘

因為當時， ，

又，

所以，當時，函數(shù)也存在最小值．

所以， 不是函數(shù)存在最小值的必要條件．

綜上， 是函數(shù)存在最小值的充分而不必要條件．

練習冊系列答案
相關習題

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【題目】給出40個數(shù)：1,2,4,7,11,16，…，要計算這40個數(shù)的和，如圖給出了該問題的程序框圖，那么框圖①處和執(zhí)行框②處可分別填入（ ）

A. ； B. ；

C. ； D. ；

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（1）關于x的不等式f（x）＜0的解集為A，且A[﹣1，2]，求a的取值范圍；
（2）是否存在實數(shù)a，使得當x∈R時， 成立．若存在給出證明，若不存在說明理由．

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（1）若A∩B={2}，求實數(shù)a的值；
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（Ⅰ）求證： ；

（Ⅱ）求證：平面平面；

（Ⅲ）若， ， ，平面平面，求二面角的大�。�

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（Ⅱ）若，試問在線段上是否存在點，使得二面角 的余弦值為？若存在，確定點的位置；若不存在，請說明理由.

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（1）已知橢圓，寫出與橢圓相似且焦點在軸上、短半軸長為的橢圓的標準方程；若在橢圓上存在兩點、關于直線對稱，求實數(shù)的取值范圍；

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=2sin2（ +x）+ （sin2x﹣cos2x），x∈[ ， ]．
（1）求 的值；
（2）求f（x）的單調區(qū)間；
（3）若不等式|f（x）﹣m|＜2恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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