Question

2．在平面直角坐標系中，直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=6+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（其中t為參數）．現以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ=6cosθ．
（Ⅰ） 寫出直線l普通方程和曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ） 過點M（-1，0）且與直線l平行的直線l₁交C于A，B兩點，求|AB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 由$\left\{\begin{array}{l}x=6+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$消去參數t，可得直線l的普通方程；由ρ=6cosθ得ρ²=6ρcosθ，由$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$得曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ） 過點M（-1，0）且與直線l平行的直線l₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t.\end{array}\right.$，將其代入x²+y²-6x=0，結合韋達定理，可得$|AB|=|{t_1}-{t_2}|=\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=2$．

解答 解：（Ⅰ） 由$\left\{\begin{array}{l}x=6+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$消去參數t，得直線l的普通方程為x-y-6=0．
又由ρ=6cosθ得ρ²=6ρcosθ，
由$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$得曲線C的直角坐標方程為x²+y²-6x=0．（5分）
（Ⅱ） 過點M（-1，0）且與直線l平行的直線l₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t.\end{array}\right.$
將其代入x²+y²-6x=0得${t^2}-4\sqrt{2}t+7=0$，
則${t_1}+{t_2}=4\sqrt{2}，{t_1}{t_2}=7$，知t₁＞0，t₂＞0，
所以$|AB|=|{t_1}-{t_2}|=\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=2$．（10分）

點評 本題考查的知識點是直線的參數方程，圓的極坐標方程，兩點之間的距離，難度中檔．