Question

已知函數(shù)f（x）=

2x

2x+1

+a是奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)a和f（-2）的值；
（2）判斷f（x）在其定義域上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專(zhuān)題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意知f（0）=

1

2

+a=0，從而解出a，再求f（-2）；
（2）先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再證明．

解答： 解：（1）∵f（x）=

2x

2x+1

+a是奇函數(shù)，
∴f（0）=

1

2

+a=0；
故a=-

1

2

；
經(jīng)檢驗(yàn)，f（x）=

2x

2x+1

-

1

2

是奇函數(shù)，
f（-2）=

1

5

-

1

2

=-

3

10

；
（2）f（x）在其定義域上是增函數(shù)，證明如下，
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=

2x1

2x1+1

-

2x2

2x2+1

=

2x1-2x2

(2x1+1)(2x2+1)

＜0；
故f（x）在其定義域R上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的判斷與證明及應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．