Question

設(shè)f（x）=x³+bx+c是[-1，1]上的增函數(shù)，且f（-

1

2

）•f（

1

2

）＜0，則方程f（x）=0在[-1，1]內(nèi)有

 

個(gè)實(shí)根．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)f（x）=x³+bx+c是[-1，1]上的增函數(shù)，判斷b的取值范圍，進(jìn)而得到函數(shù)f（x）在R時(shí)是單調(diào)遞增函數(shù)，即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵f（x）=x³+bx+c，
∴f′（x）=3x²+b，
∵f（x）=x³+bx+c是[-1，1]上的增函數(shù)，
∴當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f′（x）=3x²+b≥0恒成立，
則b≥0，
當(dāng)b≥0時(shí)，f′（x）=3x²+b≥0在R上恒成立，
即f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，
∵且f（-

1

2

）•f（

1

2

）＜0，
∴函數(shù)在區(qū)間（-

1

2

，

1

2

）內(nèi)存在唯一的一個(gè)零點(diǎn)，
故方程f（x）=0在[-1，1]內(nèi)有1個(gè)根，
故答案為：1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查方程根的個(gè)數(shù)的判斷．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出b的取值范圍是解決本題的關(guān)鍵．