Question

已知向量

a

=（cosωx-sinωx，sinωx），

b

=（-cosωx-sinωx，2

3

cosωx），其中常數(shù)ω∈（

1

2

，1），設(shè)函數(shù)f（x）=

a

•

b

（x∈R）的圖象關(guān)于直線x=π對(duì)稱(chēng)．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期與單調(diào)增區(qū)間；
（2）將y=f（x）的圖象向左平移φ（φ＞0）個(gè)單位得到函數(shù)g（x）的圖象，若函數(shù)g（x）為奇函數(shù)，求φ的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的周期性及其求法,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,兩角和與差的正弦函數(shù),函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由條件利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，三角恒等變換，可得f（x）═2sin（2ωx-

π

6

），再根據(jù)正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性求得函數(shù)f（x）的最小正周期與單調(diào)增區(qū)間．
（2）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得函數(shù)g（x）=2sin（

5

3

x+

5

3

φ-

π

6

），再根據(jù)g（x）為奇函數(shù)，可得

5

3

φ-

π

6

=2kπ，k∈z，由此求得φ的最小正值．

解答： 解：（1）由題意可得函數(shù)f（x）=

a

•

b

=sin²ωx-cos²ωx+

3

sin2ωx=-cos2ωx+

3

sin2ωx=2sin（2ωx-

π

6

），
再根據(jù)的圖象關(guān)于直線x=π對(duì)稱(chēng)，可得 2ωπ-

π

6

=kπ+

π

2

，k∈z，即ω=

k

2

+

1

3

．
再根據(jù)常數(shù)ω∈（

1

2

，1），可得ω=

5

6

．
故f（x）=2sin（

5

3

x-

π

6

），故函數(shù)的最小正周期為

2π

5 3

=

6π

5

．
令2kπ-

π

2

≤

5

3

x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得

6

5

kπ-

π

5

≤x≤

6

5

kπ+

2π

5

，k∈z，故函數(shù)的增區(qū)間為[

6

5

kπ-

π

5

，

6

5

kπ+

2π

5

]，k∈z．
（2）將y=f（x）的圖象向左平移φ（φ＞0）個(gè)單位得到函數(shù)g（x）=2sin[

5

3

（x+φ）-

π

6

]=2sin（

5

3

x+

5

3

φ-

π

6

） 的圖象，
再根據(jù)g（x）為奇函數(shù)，∴

5

3

φ-

π

6

=2kπ，k∈z，即φ=

6

5

kπ+

π

10

，故φ的最小正值為

π

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性和奇偶性，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．