Question

4．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．以點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）將曲線C和直線l化為直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)Q是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線l的距離的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三種方程互化方法，將曲線C和直線l化為直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）由于點(diǎn)Q是曲線C上的點(diǎn)，則可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$cosθ，sinθ），利用點(diǎn)到直線的距離公式，求它到直線l的距離的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）得$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1．…（2分）
由ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，化簡(jiǎn)得，ρsinθ+ρcosθ=2，…（4分）
∴x+y=2．
∴直線l的直角坐標(biāo)方程為x+y=2．…（5分）
（Ⅱ）由于點(diǎn)Q是曲線C上的點(diǎn)，則可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$cosθ，sinθ），…（6分）
點(diǎn)Q到直線l的距離為d=$\frac{|\sqrt{3}cosθ+sinθ-2|}{\sqrt{2}}$…（7分）
=$\frac{|2cos（θ-\frac{π}{6}）-2|}{\sqrt{2}}$．…（8分）
當(dāng)cos（θ-$\frac{π}{6}$）=-1時(shí)，d_max=2$\sqrt{2}$．…（9分）
∴點(diǎn)Q到直線l的距離的最大值為2$\sqrt{2}$．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查三種方程的互化，考查點(diǎn)到直線的距離公式的運(yùn)用，考查參數(shù)方程，屬于中檔題．