Question

已知函數(shù)f（x）=|sinx|的圖象與直線y=kx（k＞0）有且僅有三個交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最大值為α，則tanα與α的關(guān)系為（　　）

• A、tanα＞α
• B、tanα＜α
• C、tanα=α
• D、tanα與α的關(guān)系不確定

Answer 1

考點(diǎn)：正弦函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：作出函數(shù)f（x）=|sinx|的圖象，利用函數(shù)f（x）=|sinx|的圖象與直線y=kx（k＞0）有且僅有三個交點(diǎn)，確定切點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用三角函數(shù)的關(guān)系式證明等式．

解答： 解：作出函數(shù)f（x）=|sinx|的圖象與直線y=kx（k＞0）的圖象，如圖所示，要使兩個函數(shù)有且僅有三個交點(diǎn)，
則由圖象可知，直線在（π，

3π

2

）內(nèi)與f（x）相切．設(shè)切點(diǎn)為A（α，-sinα），
當(dāng)x∈（π，

3π

2

）時，f（x）=|sinx|=-sinx，
此時f′（x）=-cosx，x∈（π，

3π

2

）．
所以-cosα=-

sinα

α

，即α=tanα，
故選：C．

點(diǎn)評：本題主要考查了兩函數(shù)的交點(diǎn)的應(yīng)用，以及三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，綜合性強(qiáng)，難度大，屬于難題．