Question

4．已知函數(shù)f（x）=log_ax（a＞1），在定義域[m，n]（n＞m）上的值域也為[m，n]，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為$1＜a＜{e^{\frac{1}{e}}}$．

Answer 1

分析 根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，f（x）=log_ax（a＞1），的定義域和值域均為[m，n]，那么f（x）與y=x的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程f（x）-x=0有兩個(gè)根．利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性求解．

解答 解：f（x）=log_ax（a＞1），的定義域和值域均為[m，n]，那么f（x）與y=x的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程f（x）-x=0有兩個(gè)根．
設(shè)g（x）=f（x）-x=log_ax-x
則g'（x）=$\frac{1}{xlna}-1$，
令g'（x）=0 得 x=$\frac{1}{lna}$，
∵當(dāng)x在（0，$\frac{1}{lna}$）時(shí)，g′（x）＞0，當(dāng)x在（$\frac{1}{lna}$，+∞）時(shí)，g′（x）＜0，
所以當(dāng)x=$\frac{1}{lna}$時(shí)，g（x）取得最大值-log_alna-log_ea．
由-log_alna-log_ea＞0
解得：$1＜a＜{e^{\frac{1}{e}}}$．
故答案為：$1＜a＜{e^{\frac{1}{e}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)的性質(zhì)綜合的應(yīng)用能力和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題．屬于中檔題．