Question

15．已知函數f（x）=4^x-2^x+2-6，其中x∈[0，3]
（1）求函數f（x）的 最大值和最小值
（2）實數a滿足f（x）-a≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對f（x）化簡配方得：f（x）=（2^x-2）²-10，利用函數的單調性質可求函數f（x）的 最大值和最小值；
（2）實數a滿足f（x）-a≥0恒成立⇒a≤[f（x）]_min，由f（x）=（2^x-2）²-10≥-10即可求得∴[f（x）]_min，=-10，從而可求a的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=4^x-2^x+2-6=（2^x-2）²-10，
又x∈[0，3]，
∴2^x∈[1，8]，
∴當2^x=2時，函數f（x）取得最小值-10；
當2^x=8時，函數f（x）取得最大值6²-10=26．
（2）∵實數a滿足f（x）-a≥0恒成立，
∴a≤[f（x）]_min，
∵f（x）=4^x-2^x+2-6=（2^x-2）²-10≥-10，
∴[f（x）]_min，=-10，
∴a≤-10．

點評 本題考查函數恒成立問題，考查指數函數的單調性與最值，考查等價轉化思想與運算能力，屬于中檔題．