Question

5．已知f（x）=$\frac{1}{2}$ax²+（b-1）x+lnx（a＞0，b∈R）．
（1）當(dāng)a=2，b=-2時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)有兩個極值點(diǎn)x₁和x₂，0＜x₁＜2＜x₂＜4求證：b＜2a．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=2，b=-2時，對f（x）求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；
（2）函數(shù)f（x）有兩個極值點(diǎn)x₁，x₂，轉(zhuǎn)化為f（x）=0在（0，+∞）有兩個不同的解x₁，x₂，即x₁，x₂是ax²+（b-1）x+1=0在（0，+∞）內(nèi)的兩個不同解．

解答 解：（1）f‘（x）=2x-3+$\frac{1}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-3x+1}{x}$（x＞0），
由f'（x）=0得x=$\frac{1}{2}$ 或x=1，．
∴當(dāng)x＞1或0＜x＜$\frac{1}{2}$ 時，f'（x）＞0，
當(dāng)$\frac{1}{2}$＜x＜1時f'（x）＜0，
∴（$\frac{1}{2}$，1）是函數(shù)f（x）的減區(qū)間，（0，$\frac{1}{2}$）和（1，+∞）是f（x）的增區(qū)間； 
（2）∵函數(shù)f（x）有兩個極值點(diǎn)x₁，x₂，∴f（x）=0在（0，+∞）有兩個不同的解x₁，x₂，
．∵f（x）=ax+（b-1）+$\frac{1}{x}$=$\frac{a{x}^{2}+（b-1）x+1}{x}$，
∴x₁，x₂是ax²+（b-1）x+1=0在（0，+∞）內(nèi)的兩個不同解，
設(shè)h（x）=ax²+（b-1）x+1，則該函數(shù)有兩個零點(diǎn)x₁，x₂，
∵0＜x₁＜2＜x₂＜4，∴$\left\{\begin{array}{l}{h（0）＞0}\\{h（2）＜0}\\{h（4）＞0}\end{array}\right.$ 即$\left\{\begin{array}{l}{4a+2（b-1）+1＜0}\\{16a+4（b-1）+1＞0}\end{array}\right.$，
∴$\frac{3}{4}$-4a＜b＜$\frac{1}{2}$-2a，即$\frac{3}{4}$-4a＜$\frac{1}{2}$-2a得a＞$\frac{1}{8}$，
∴b＜$\frac{1}{2}$-2a＜4a-2a=2a，∴b＜2a得證；

點(diǎn)評 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，以及導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)與極值點(diǎn)之間關(guān)系，屬中等題．