Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）若，求在處的切線方程；

（Ⅱ）若對(duì)任意均有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）求證：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）證明見解析.

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得斜率后，利用點(diǎn)斜式即可得解；

（Ⅱ）先求導(dǎo)，根據(jù)、分類討論函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合即可得解；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知當(dāng)時(shí)，，轉(zhuǎn)化可得，進(jìn)而可得，即可得證.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，則，所以，

所以切線方程為即；

（Ⅱ）由題意，

令，則，，

當(dāng)時(shí)，，在時(shí)恒成立；

當(dāng)時(shí)，圖象的對(duì)稱軸為，由、可得在時(shí)恒成立；

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，符合題意；

當(dāng)時(shí)，，，圖象的對(duì)稱軸，

所以存在，使得，

則當(dāng)時(shí)，即，函數(shù)單調(diào)遞增，

此時(shí)，不合題意.

故所求實(shí)數(shù)的取值范圍為；

（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減，，

易知當(dāng)時(shí)，即，

所以即，所以，

令，則，

所以，得證.