已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),且y=
f(x)
x
在(0,+∞)上為增函數(shù).
(1)求證:任意x1,x2∈(0,+∞),f(x1)+f(x2)<f(x1+x2);
(2)若f(x)有零點(diǎn),求證:f(x)>2014有解.
考點(diǎn):抽象函數(shù)及其應(yīng)用
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:(1)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可證明任意x1,x2∈(0,+∞),f(x1)+f(x2)<f(x1+x2);
(2)設(shè)f(x0)=0,根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)即可得到結(jié)論.
解答: (1)∵?x1,x2∈(0,+∞),
有x1<x1+x2,x2<x1+x2,
∵y=
f(x)
x
在(0,+∞)上為增函數(shù),
f(x1)
x1
f(x1+x2)
x1+x2
,
f(x2)
x2
f(x1+x2)
x1+x2

即f(x1)<x1
f(x1+x2)
x1+x2
,f(x2)<x2
f(x1+x2)
x1+x2
,
則f(x1)+f(x2)<x1
f(x1+x2)
x1+x2
+x2
f(x1+x2)
x1+x2
=(x1+x2)•
f(x1+x2)
x1+x2
=f(x1+x2);
故f(x1)+f(x2)<f(x1+x2)成立.
(2)若f(x)有零點(diǎn),設(shè)f(x0)=0,其中x0>0.
∵y=
f(x)
x
在(0,+∞)上為增函數(shù).
∴當(dāng)x>x0時(shí),
f(x)
x
f(x0)
x0
=0.
取t∈(0,+∞),滿足f(t)>0,記
f(t)
t
=k

∵當(dāng)x>t時(shí),
f(x)
x
f(t)
t
=k

∴f(x)>kx對(duì)x>t成立.
只要x>
2014
k
,則有f(x)>kx>2014,
即f(x)>2014 一定有解.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)以及函數(shù)零點(diǎn)的判斷方法是解決本題的關(guān)鍵.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若二項(xiàng)式(2x+
a
x
8的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為70,則實(shí)數(shù)a可以為(  )
A、2
B、
1
2
C、
2
D、
2
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn),以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的雙曲線C過點(diǎn)Q(2,
3
3
),且Q點(diǎn)在x軸上的射影恰為該雙曲線的焦點(diǎn)F.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)過雙曲線C的焦點(diǎn)F作與x軸不垂直的任意直線l交雙曲線C于A,B兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)M,問:
|AB|
|FM|
是否為定值?若為定值,請(qǐng)求出這個(gè)定值;若不是定值,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上橢圓Ω的方程
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),它的離心率為
1
2
,一個(gè)焦點(diǎn)是(-1,0),過直線x=4上一點(diǎn)M引橢圓Ω的兩條切線,切點(diǎn)分別為A、B.
(1)求橢圓的方程;
(2)若在橢圓Ω:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)上的點(diǎn)(x0,y0)處的切線方程是
x0x
a2
+
y0y
b2
=1,求證:直線AB恒過定點(diǎn)C(1,0);
(3)是否存在實(shí)數(shù)λ,使得|AC|+|BC|=λ|AC|•|BC|恒成立?(點(diǎn)C位直線AB恒過的定點(diǎn))若存在,求出λ的值,若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

為了了解禿頂與患心臟病是否有關(guān),某校學(xué)生隨機(jī)調(diào)查了醫(yī)院中因患心臟病而住院45名男性病人;另外不是因患心臟病而住院55名男性病人,得到相應(yīng)的2×2列聯(lián)表:
患心臟病不患心臟病
禿頂155
不禿頂3050
2×2列聯(lián)表
(1)根據(jù)2×2列聯(lián)表補(bǔ)全相應(yīng)的等高條形圖(用陰影表示);
(2)根據(jù)列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn),能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為禿頂與患心臟病有關(guān)?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知x,y,z均為正數(shù),求證:
x
yz
+
y
zx
+
z
xy
1
x
+
1
y
+
1
z

(2)設(shè)a,b為正數(shù),且a+b=1,求證:(
1
a2
-1)(
1
b2
-1)≥9.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知一個(gè)幾何體是由上下兩部分構(gòu)成的組合體,其三視圖如圖,若圖中圓的半徑為1,等腰三角形的腰長為
5
,則該幾何體的體積為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)相同,且C的離心率e=
1
2
,又A,B為橢圓的左右頂點(diǎn),M為橢圓上任一點(diǎn)(異于A,B).
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線MA交直線x=4于點(diǎn)P,過點(diǎn)P作直線MB的垂線交x軸于點(diǎn)Q,求點(diǎn)Q的坐標(biāo);
(3)在(2)條件下,求點(diǎn)P在直線MB上射影的軌跡方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)集合A為f(x)=ln(-x2-2x+8)的定義域,集合B為關(guān)于x的不等式(ax-
1
a
)(x+4)≥0的解集,若B⊆∁RA,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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