Question

設(shè)f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，f（2）=1，且f（xy）=f（x）+f（y），
（1）求f（4）的值；
（2）求滿足不等式f（x）+f（x-3）≤2的x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令x=y=2，利用f（2）=1即可求得f（4）的值；
（2）由條件和（1）的結(jié)論得f[x（x-3）]≤f（4），再由單調(diào)性得到不等式組，解之即可．

解答： 解：（1）∵f（2）=1，
∴f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2）=2；
（2）∵函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，
f（xy）=f（x）+f（y），f（4）=2，
∴f（x）+f（x-3）≤2?f[x（x-3）]≤f（4），
∴

x＞0 x-3＞0 x2-3x≤4

，即

x＞0 x＞3 -1≤x≤4

，
解得：3＜x≤4．
∴原不等式的解集為：（3，4]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查賦值法與函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查解不等式組的能力，屬于中檔題．