Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=

2(x-1)

x+1

．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）-g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x＞1時(shí)，證明：f（x）＞g（x）；
（Ⅲ）函數(shù)f（x）與f（x）的圖象在交點(diǎn)處是否有公切線？若有，求出該公切線的方程；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）-g（x）定義域并求導(dǎo)，從而判斷單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）由函數(shù)y=f（x）-g（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，且當(dāng)x=1時(shí)，y=f（x）-g（x）=0-0=0，從而得證；
（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）可得，函數(shù)f（x）與g（x）的圖象的交點(diǎn)為（1，0），從而求導(dǎo)數(shù)，最終求公共切線．

解答： 解：（Ⅰ）y=f（x）-g（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

的定義域?yàn)椋?，+∞），
y′=

1

x

-

4

(x+1)2

=

(x-1)2

x(x+1)2

≥0，
故函數(shù)y=f（x）-g（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（Ⅱ）證明：∵函數(shù)y=f（x）-g（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
又∵當(dāng)x=1時(shí)，y=f（x）-g（x）=0-0=0，
∴當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）-g（x）＞f（1）-g（1）=0，
∴f（x）＞g（x）；
（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）可得，
函數(shù)f（x）與g（x）的圖象的交點(diǎn)為（1，0），
在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)分別為：
f′（1）=1，g′（1）=1；
故在（1，0）處有公切線，
其公共切線為y-0=x-1，
即x-y-1=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，同時(shí)考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．