Question

如圖，在正方形ABD-A₁B₁C₁D₁，O為底面ABCD的中心，P是DD₁的中點(diǎn)，設(shè)Q是CC₁上的中點(diǎn)．求證：
（1）PO∥面D₁BQ；
（2）平面D₁BQ∥平面PAO．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面平行的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連結(jié)BD，先根據(jù)中位線的性質(zhì)證明出OP∥D₁B，進(jìn)而根據(jù)線面平行的判定定理證明出線面平行．
（2）Q為CC₁的中點(diǎn)時(shí)，平面D₁BQ∥平面PAO．證明QB∥PA，進(jìn)而證明QB∥面PAO，再利用三角形的
中位線的性質(zhì)證明D₁B∥PO，進(jìn)而證明D₁B∥面PAO，再利用兩個(gè)平面平行的判定定理證得平面D₁BQ∥平面PAO．

解答： 證明：（1）連結(jié)DB，則D，O，B三點(diǎn)共線，
∵P，O均為中點(diǎn)，
∴OP∥D₁B，
又∵D₁B?面D₁BQ，OP?面D₁BQ，
∴PO∥面D₁BQ．
（2）∵Q為CC₁的中點(diǎn)，P為DD₁的中點(diǎn)，
∴QB∥PA．
連接DB．∵P、O分別為DD₁、DB的中點(diǎn)，
∴D₁B∥PO．又D₁B?平面PAO，QB?平面PAO，
∴D₁B∥面PAO．
再由QB∥面PAO，且 D₁B∩QB=B，
∴平面D₁BQ∥平面PAO．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面平行和面面平行的判定．證明線面平行、面面 平行，首先應(yīng)證明線線平行．體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．