設(shè)f（x）=
16x
x2+8
（x＞0）．
（1）求f（x）的最大值；
（2）證明：對任意實數(shù)a、b，恒有f（a）＜b2-3b+
21
4
．
考點：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用
專題：計算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用
分析：（1）利用分離常數(shù)法化簡f（x）=
16x
x2+8
=
16
x+
8
x
，利用基本不等式求函數(shù)的最大值；
（2）化簡b2-3b+
21
4
=（b-
3
2
）2+3＞2
2
，從而可證明．
解答： 解：（1）f（x）=
16x
x2+8
=
16
x+
8
x
，
∵x+
8
x
≥4
2
，
（當(dāng)且僅當(dāng)x=
8
x
，即x=2
2
時，等號成立）
故
16
x+
8
x
≤
16
4
2
=2
2
，
故f（x）的最大值為2
2
；
（2）證明：∵b2-3b+
21
4
=（b-
3
2
）2+3＞2
2
，
又∵f（a）≤2
2
，
∴對任意實數(shù)a、b，恒有f（a）＜b2-3b+
21
4
．
點評：本題考查了函數(shù)的最值的求法，同時考查了基本不等式的應(yīng)用及恒成立問題的處理方法，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
(
1
2
)x+
3
4
x≥2
log2x0＜x＜2
，則f（f（2））=（　　）
A、0
B、
5
4
C、1
D、-1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，已知C=
3π
4
，cos2B=
1
2
+sin2A．
（Ⅰ）求tanB；
（Ⅱ）若BC=2，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A點坐標(biāo)（-a，0），B點坐標(biāo)（a，0），雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0），P（x，y）為雙曲線上一點（x≠±a），則kPA•kPB=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若直線l過拋物線x2=-8y的焦點F，且與雙曲線
x2
9
-
y2
3
=1在一三象限的漸近線平行，則直線l截圓（x-4
3
）2+y2=4所得弦長為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F．
（1）證明：PA∥平面EDB；
（2）證明：DE⊥BC；
（3）求BD和平面EFD所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=sin（2x+
π
4
）+cos（2x+
π
4
），則這函數(shù)圖象的性質(zhì)是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

計算(a
8
5
b-
6
5
)-
1
2
•
5a4
÷
5b3
（a•b≠0）=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓C經(jīng)過點A（-1，1），B（0，2），且圓心在直線x-y-1=0上．
（1）求圓C的方程；
（2）求過點（2，3）且被圓C截得的弦長為4的直線l的方程；
（3）若點P（x，y）在圓C上，求t=
x-2
y-3
的取值范圍．

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