Question

9．如圖，邊長為4的正方形ABCD所在平面與正三角形PAD所在平面互相垂直，M，Q分別為PC，AD的中點．
（1）求證：PA∥平面MBD；
（2）求二面角P-BD-A的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連接AC、BD交于點O，連接OM，推導出PA∥OM，由此能證明PA∥平面BMD．
（2）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，過A作平面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角P-BD-A的余弦值．

解答 證明：（1）連接AC、BD交于點O，連接OM．
則AO=OC，又PM=MC，
∴PA∥OM．
∵PA?平面BMD，OM?平面BMD，
∴PA∥平面BMD．
解：（2）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，過A作平面ABCD的垂線為z軸，
建立空間直角坐標系，
則P（0，2，2$\sqrt{3}$），B（4，0，0），D（0，4，0），
$\overrightarrow{BP}$=（-4，2，2$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BD}$=（-4，4，0），
設(shè)平面BPD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=-4x+2y+2\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=-4x+4y=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
平面ABD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
設(shè)二面角P-BD-A的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{\frac{7}{3}}}$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$．
∴二面角P-BD-A的余弦值為$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．