Question

在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC與BD交于點O，EC⊥底面ABCD，F為BE的中點.

(Ⅰ) 求證：DE∥平面ACF；

(Ⅱ)若AB=，在線段EO上是否存在點G，使CG⊥平面BDE？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

解析（Ⅰ）證明：連接OF.

由四邊形ABCD是正方形可知，點O為BD的中點．

又F為BE的中點，所以OF ∥DE．

又OF平面ACF，DE平面ACF，

所以DE∥平面ACF．

(Ⅱ)解法一：若CG⊥平面BDE，則必有CG⊥OE，

于是作CG⊥OE于點G．

由EC⊥底面ABCD，所以BD⊥EC，又底面ABCD是正方形，

所以BD⊥AC，又EC∩AC=C，所以BD⊥平面ACE．分

而CG平面ACE，所以CG⊥BD．

又OE∩BD=O，所以CG⊥平面BDE．

又AB=，所以，

所以G為EO的中點，所以.

解法二：取EO的中點G，連接CG．在四棱錐E—ABCD中，

AB=，，所以CG⊥EO．

又由EC⊥底面ABCD，BD底面ABCD，所以EC⊥BD，

由四邊形ABCD是正方形可知，AC⊥BD，

又AC∩EC=C，

所以BD⊥平面ACE，

而BD平面BDE，

所以，平面ACE⊥平面BDE，且平面ACE∩平面BDE=EO，

因為CG⊥EO，CG 平面ACE，所以CG⊥平面BDE，

故在線段EO上存在點G，使CG⊥平面BDE．

由G為EO的中點，得.