Question

已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，且滿足xf′（x）＜0，f(

1

2

)=0，則滿足f(log

1

4

x)＜0的x的范圍為（　　）

• A、（-∞，

  1

  2

  ）∪（2，+∞）
• B、（

  1

  2

  ，1）∪（1，2）
• C、（

  1

  2

  ，1）∪（2，+∞）
• D、（0，

  1

  2

  ）∪（2，+∞）

Answer 1

考點：指、對數(shù)不等式的解法,導(dǎo)數(shù)的運算

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答： 解：當(dāng)x＞0時，由xf′（x）＜0，得f′（x）＜0，即此時函數(shù)單調(diào)遞減，
∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
∴不等式f(log

1

4

x)＜0等價為f（|log

1

4

x|）＜f(

1

2

)，
即|log

1

4

x|＞

1

2

，即log

1

4

x＞

1

2

或log

1

4

x＜-

1

2

，
解得0＜x＜

1

2

或x＞2，
故x的取值范圍是（0，

1

2

）∪（2，+∞）
故選：D

點評：本題主要考查不等式的求解，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．