Question

在△ABC中，a、b、c分別在各角的對(duì)邊．
（1）證明：關(guān)于x的方程x²+（ccosB）x-a=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根；
（2）若上述方程的兩根之和等于兩根之積，證明：△ABC為直角三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）由題意易證△=c²cos²B+4a＞0，故方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根；
（2）由韋達(dá)定理可得ccosB=a，再由正弦定理可得sinCcosB=sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，可得cosB=0，B=

π

2

，可得結(jié)論．

解答： 證明：（1）∵a、b、c分別在各角的對(duì)邊，
∴△=（ccosB）²-4×1×（-a）=c²cos²B+4a＞0，
∴關(guān)于x的方程x²+（ccosB）x-a=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根；
（2）∵方程x²+（ccosB）x-a=0的兩根之和等于兩根之積，
∴-ccosB=-a，即ccosB=a，
由正弦定理可得sinCcosB=sinA，
∴sinCcosB=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
∴cosBsinC=0，
∵A、B、C為三角形的內(nèi)角，∴sinC＞0
∴cosB=0，B=

π

2

∴△ABC為直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查解三角形，涉及韋達(dá)定理和正余弦定理，屬基礎(chǔ)題．