Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2ax（a＞0）．
（1）當(dāng)a=2時，解關(guān)于x的不等式-3＜f（x）＜5；
（2）對于給定的正數(shù)a，有一個最大的正數(shù)M（a），使得在整個區(qū)間[0，M（a）]上，不等式|f（x）|≤5恒成立，求出M（a）的解析式．

Answer 1

考點：一元二次不等式的解法,函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）a=2時，把不等式-3＜f（x）＜5化為不等式組

x2-4x＞-3 x2-4x＜5

，求出解集即可；
（2）由二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，討論a＞0時|f（x）|≤5在x∈[0，M（a）]上恒成立時，
M（a）最大，此時對應(yīng)的方程f（x）=±5根的情況，從而求出M（a）的解析式．

解答： 解：（1）當(dāng)a=2時，函數(shù)f（x）=x²-4x，
∴不等式-3＜f（x）＜5可化為-3＜x²-4x＜5，
即

x2-4x＞-3 x2-4x＜5

，
解得

x＜1或x＞3 -1＜x＜5

，
∴不等式的解集為（-1，1）∪（3，5）；
（2）∵a＞0時，f（x）=x²-2ax=（x-a）²-a²，
∴當(dāng)-a²＜-5，即a＞

5

時，
要使|f（x）|≤5在x∈[0，M（a）]上恒成立，
要使得M（a）最大，M（a）只能是x²-2ax=-5的較小的根，
即M（a）=a-

a2-5

；
當(dāng)-a²≥-5，即0＜a≤

5

時，
要使|f（x）|≤5在x∈[0，M（a）]上恒成立，
要使得M（a）最大，M（a）只能是x²-2ax=5的較大的根，
即M（a）=a+

a2+5

；
綜上，M（a）=

a- a2-5 ，a＞ 5 a+ a2+5 ，0＜a≤ 5

．

點評：本題考查了不等式的解法與應(yīng)用問題，也考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是較難理解的題目．