Question

己知函數(shù)f（x）=|1-

1

x

|，（x＞0），
（1）畫出函數(shù)的草圖；
（2）當0＜a＜b，且f（a）=f（b）時，求

1

a

+

1

b

的值；
（3）若存在實數(shù)a，b（0＜a＜b），使得函數(shù)y=f（x）的定義域為[a，b]時，值域[ma，mb]，其中m≠0，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）f（x）=|1-

1

x

|，可看做先由函數(shù)y=

-1

x

向上平移1個單位，再把x軸以下的部分翻到x軸以上；
（2）當0＜a＜b，且f（a）=f（b）時，可得a＜1，b＞1，故f(a)=

1

a

-1，f(b)=

-1

b

+1，由f（a）=f（b），得

1

a

-1=

-1

b

+1，且

1

a

+

1

b

=2．
（3）f分三種情況：
①當a、b∈（0，1]、②當a∈（0，1]，b∈（1，+∞）、③當a、b∈[1，+∞）時，討論函數(shù)的單調(diào)性，得方程解決．

解答： 解：（1）f（x）=|1-

1

x

|，可看做先由函數(shù)y=

-1

x

向上平移1個單位，再把x軸以下的部分翻到x軸以上，圖象如圖：

（2）當0＜a＜b，且f（a）=f（b）時，可得a＜1，b＞1
∴f(a)=

1

a

-1，f(b)=

-1

b

+1
∵f（a）=f（b），∴

1

a

-1=

-1

b

+1，∴

1

a

+

1

b

=2．
（3）易知m＞0
f分三種情況：
①當a、b∈（0，1]時，因為f（x）遞減，∴

f(a)=mb f(b)=ma

，∴

1 a -1=mb 1 b -1=ma

，∴

1-a=mab 1-b=mab

，
∴1-a=1-b，∴a=b與已知矛盾；
②當a∈（0，1]，b∈（1，+∞）時，顯然1∈[a，b]，而f（1）=0，
∴0∈[ma，mb]，而ma＞0，矛盾；
③當a、b∈[1，+∞）時，因為f（x）遞增，∴

f(a)=ma f(b)=mb

，即

-1 a +1=ma -1 b +1=mb

，
∴

ma2-a+1=0 mb2-b+1=0

，∴a與b為方程mx²-x+1=0的兩根，
∵a、b都大于1，∴方程mx²-x+1=0有兩個大于1的不等根，
∴

△=1-4m＞0 - -1 2m ＞1 m-1+1＞0

，解得0＜m＜

1

4

，
∴實數(shù)m的取值范圍為{m|0＜m＜

1

4

}．

點評：本題考查函數(shù)的值域，涉及函數(shù)的單調(diào)性和運用一元二次方程探討問題，屬中檔題．