Question

已知函數(shù)f（x）=2sinxcos（φ-x）-

1

2

（0＜φ＜

π

2

）的圖象過點（

π

3

，1）．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）首先，將點（

π

3

，1）代人函數(shù)解析式，化簡，得到cos（φ-

π

3

）=

3

2

，然后，根據(jù)0＜φ＜

π

2

，確定其值；
（Ⅱ）首先，化簡函數(shù)解析式得到f（x）=sin（2x-

π

6

），然后，結合正弦函數(shù)的單調(diào)性求解其減區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）將點（

π

3

，1）代人函數(shù)解析式，
1=2sin

π

3

cos（φ-

π

3

）-

1

2

．
∴2×

3

2

×cos（φ-

π

3

）=

3

2

，
∴cos（φ-

π

3

）=

3

2

，
∵0＜φ＜

π

2

，
∴-

π

3

＜φ-

π

3

＜

π

2

-

π

3

=

π

6

，
∴φ-

π

3

=-

π

6

，
∴φ=

π

6

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
f（x）=2sinxcos（

π

6

-x）-

1

2

=2sinx（cos

π

6

cosx+sin

π

6

sinx）-

1

2

=

3

sinxcosx+sin²x-

1

2

，
=

3

2

•2sinxcosx+

1-cos2x

2

-

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x
=sin（2x-

π

6

），
∴f（x）=sin（2x-

π

6

），
令

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，
∴

5π

12

+kπ≤x≤

5π

6

+kπ，k∈Z，
∴單調(diào)遞減區(qū)間[

5π

12

+kπ，

5π

6

+kπ]，（k∈Z），
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間[

5π

12

+kπ，

5π

6

+kπ]，（k∈Z）．

點評：本題綜合考查了三角公式、三角恒等變換公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于中檔題，解題關鍵是準確掌握三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)．