Question

已知點(diǎn)P是圓C：x²+y²-4ax-2by-5=0（a＞0，b＞0）上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)P關(guān)于直線x+2y-1=0的對(duì)稱點(diǎn)仍在圓C上，則

4

a

+

1

b

的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的一般方程

專題：計(jì)算題,不等式的解法及應(yīng)用,直線與圓

分析：由題意，x²+y²-4ax-2by-5=0表示的是以（2a，b）為圓心的圓，則直線x+2y-1=0過(guò)圓心，從而可得a+b=

1

2

（a＞0，b＞0），利用不等式即可．

解答： 解：x²+y²-4ax-2by-5=0表示的是以（2a，b）為圓心的圓，
故由曲線x²+y²-4ax-2by-5=0上的任意一點(diǎn)關(guān)于直線x+2y-1=0的對(duì)稱點(diǎn)仍在圓C上可得，
直線x+2y-1=0過(guò)點(diǎn)（2a，b），則2a+2b-1=0，
即a+b=

1

2

（a＞0，b＞0），
則

4

a

+

1

b

=2（a+b）（

4

a

+

1

b

）=2（5+

a

b

+

4b

a

）≥2（5+4）=18．（當(dāng)且僅當(dāng)

a

b

=

4b

a

時(shí)，等號(hào)成立）
故答案為：18．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了恒成立問題及圓的結(jié)構(gòu)特征，同時(shí)考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．