Question

已知函數(shù)y=f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)． 當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=

5 16 x2(0≤x≤2) ( 1 2 )x+1(x＞2)

，若關(guān)于x的方程[f（x）]²+af（x）+b=0，a，b∈R有且僅有6個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：依題意f（x）在（-∞，-2）和（0，2）上遞增，在（-2，0）和（2，+∞）上遞減，當(dāng)x=±2時(shí)，函數(shù)取得極大值

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4

；當(dāng)x=0時(shí)，取得極小值0．要使關(guān)于x的方程[f（x）]²+af（x）+b=0，a，b∈R有且只有6個(gè)不同實(shí)數(shù)根，設(shè)t=f（x），則t²+at+b=0必有兩個(gè)根t₁、t₂，則有兩種情況：（1）t₁=

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，且t₂∈（1，

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），（2）t₁∈（0，1]，t₂∈（1，

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4

），符合題意，討論求解．

解答： 解：依題意f（x）在（-∞，-2）和（0，2）上遞增，在（-2，0）和（2，+∞）上遞減，
當(dāng)x=±2時(shí)，函數(shù)取得極大值

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；
當(dāng)x=0時(shí)，取得極小值0．
要使關(guān)于x的方程[f（x）]²+af（x）+b=0，a，b∈R有且只有6個(gè)不同實(shí)數(shù)根，
設(shè)t=f（x），
則t²+at+b=0必有兩個(gè)根t₁、t₂，
則有兩種情況符合題意：
（1）t₁=

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，且t₂∈（1，

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），
此時(shí)-a=t₁+t₂，
則a∈（-

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，-

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）；
（2）t₁∈（0，1]，t₂∈（1，

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），
此時(shí)同理可得a∈（-

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，-1），
綜上可得a的范圍是（-

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2

，-

9

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）∪（-

9

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，-1）．
故答案為：（-

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2

，-

9

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）∪（-

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，-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分段函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的應(yīng)用，屬于難題．