Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足xf′（x）≤0，且y=f（x）為偶函數(shù)，當|x₁|＜|x₂|時，有（　�。�

• A、f（x₁）＞f（x₂）
• B、f（x₁）=f（x₂）
• C、f（x₁）＜f（x₂）
• D、f（|x₂|）＞f（x₁）

Answer 1

考點：函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：由xf′（x）≤0，

x≤0 f′(x)≥0

或

x≥0 f′(x)≤0

，得函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0]上為增函數(shù)，在區(qū)間[0，+∞）上為減函數(shù)；又y=f（x）為偶函數(shù)，得函數(shù)f（x）的圖象關于直線y對稱；由|x₁|＜|x₂|f（|x₁|）＞f（|x₂|），由于f（|x₂|）=f（x₂）即得結論．

解答： 解：由xf′（x）≤0，

x≤0 f′(x)≥0

或

x≥0 f′(x)≤0

，
根據(jù)導數(shù)與函數(shù)單調性的關系得函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0]上為增函數(shù)，在區(qū)間[0，+∞）上為減函數(shù)；
又y=f（x）為偶函數(shù)，
所以f（x）=f（-x），
得函數(shù)f（x）的圖象關于直線y對稱；
由|x₁|＜|x₂|，
所以f（|x₁|）＞f（|x₂|），
由f（|x|）=f（x）
即f（x₁）＞f（x₂），
故選：A

點評：本題考查了函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系，運用奇偶性等量關系求解，轉化為在區(qū)間[0，+∞）上為減函數(shù)判斷．