Question

已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0時(shí)，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
（1）證明函數(shù)f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)；
（2）解不等式：f（

1

x-1

）＞0；
（3）若f（x）≤m²-2pm+1對(duì)所有x∈[-1，1]，任意p∈[-1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）任取x₁、x₂兩數(shù)使x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)推知f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂），讓f（x₁）+f（-x₂）除以x₁-x₂再乘以x₁-x₂配出

f(a)+f(b)

a+b

的形式，進(jìn)而判斷出f（x₁）-f（x₂）與0的關(guān)系，進(jìn)而證明出函數(shù)的單調(diào)性．
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)知：

1

x-1

∈(0，1]，進(jìn)而可解得x的范圍．
（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性知f（x）最大值為f（1）=1，所以要使f（x）≤m²-2pm+1對(duì)所有的x∈[-1，1]恒成立，只需m（m-2p）≥0成立．根據(jù)p的不同取值進(jìn)行分類討論，能夠求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）任取x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，則-x₂∈[-1，1]．又f（x）是奇函數(shù)，于是
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

•（x₁-x₂）．
據(jù)已知

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

＞0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)．
（2）∵f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
由f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)知：
若f（

1

x-1

）＞0=f（0），
則

1

x-1

∈(0，1]，
解得1＜x≤2，
故不等式的解集為（1，2]，
（3）由（1）知f（x）最大值為f（1）=1，
所以要使f（x）≤m²-2pm+1對(duì)所有的x∈[-1，1]恒成立，
只需1≤m²-2pm+1成立，即m（m-2p）≥0．
①當(dāng)p∈[-1，0）時(shí)，m的取值范圍為（-∞，2p]∪[0，+∞）；
②當(dāng)p∈（0，1]時(shí)，m的取值范圍為（-∞，0]∪[2p，+∞）；
③當(dāng)p=0時(shí)，m的取值范圍為R．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的綜合運(yùn)用．在解題時(shí)要利用好單調(diào)性和奇偶性的定義，難度中檔．