13.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a1=10,a2為整數(shù),且a3∈[3,5].
(1)求{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=1anan+1,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn的最大值.
分析 (1)由a1=10,a2為整數(shù)知,公差d為整數(shù).由a3=10+2d∈[3,5],化為−72≤d≤−52,解得d=-3.即可得出.(2)bn=1(13−3n)(10−3n)=13(110−3n−113−3n),利用“裂項求和方法”與數(shù)列的單調(diào)性即可得出.
解答 解:(1)由a1=10,a2為整數(shù)知,∴公差d為整數(shù).
∵a3=10+2d∈[3,5],∴−72≤d≤−52,解得d=-3.
∴a3=10-2×3=4.
{an}的通項公式為an=10-3(n-1)=13-3n.
(2)bn=1(13−3n)(10−3n)=13(110−3n−113−3n),
于是Tn=b1+b2+…+bn=13[(17−110)+(14−17)+…+(110−3n−113−3n)]=13(110−3n−110)=n10(10−3n)=110(10n−3),
n≥4時,Tn<0.
n≤3時,Tn>0,則n=3的時,取最大值310.
點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式、“裂項求和方法”、數(shù)列的單調(diào)性,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.