Question

已知△ABC的周長(zhǎng)是8，頂點(diǎn)B與C的坐標(biāo)分別是（0，-1）和（0，1）
（1）求頂點(diǎn)A的軌跡E的方程
（2）過點(diǎn)P（-2，1）作直線l與（1）中的曲線E交于M，N兩點(diǎn)，若P恰為弦MN的中點(diǎn)，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)三角形的周長(zhǎng)，結(jié)合橢圓的定義可知A點(diǎn)的軌跡是一個(gè)橢圓，進(jìn)而可得橢圓方程，應(yīng)注意A不在直線BC上；
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用點(diǎn)差法，求出直線的斜率，即可求直線l的方程．

解答： 解：（1）由已知|AB|+|AC|+|BC|=8，|BC|=2，得|AB|+|AC|=6＞2=|BC|，
由定義可知A點(diǎn)的軌跡是一個(gè)橢圓，且2c=2，2a=6，
即c=1，a=3，
∴b²=a²-c²=8，
當(dāng)A在直線BC上，即x=0時(shí)，A，B，C三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形．
因此，A點(diǎn)的軌跡方程為

x2

9

+

y2

8

=1（x≠0）；
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則

x12

9

+

y12

8

=1，

x22

9

+

y22

8

=1，
∵線段MN的中點(diǎn)恰為點(diǎn)P，
∴兩式相減可得

-4(x2-x1)

9

+

2(y2-y1)

8

=0，
∴k=

y2-y1

x2-x1

=

16

9

，
∴可得直線l的方程為y-1=

16

9

（x+2），即16x-9y+41=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的定義，考查橢圓的方程，考查點(diǎn)差法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．