Question

廣東某六所名校聯盟辦學，他們不但注重學生的學習成績的提高，更重視學生的綜合素質的提高；六校從各校中抽出部分學生組成甲、乙、丙、丁 4個小組進行綜合素質過關測試，設4個小組中：甲、乙、丙、丁組在測試中能夠過關的概率分別為0.6，0.5，0.5，0.4，各組是否過關是相互獨立的．
（1）求測試中至少3個小組過關的概率；
（2）X表示測試中能夠過關的組數，求X的數學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,相互獨立事件的概率乘法公式

專題：概率與統計

分析：（1）根據相互對立事件的概率的乘法公式求出測試中至少3個小組過關的概率P；
（2）求出X的可能取值，從而求出X的分布列與數學期望．

解答： 解：（1）測試中至少3個小組過關的概率為
P=0.6×0.5²×（1-0.4）+2×0.6×0.5²×0.4+（1-0.6）×0.5²×0.4+0.6×0.5²×0.4
=0.09+0.12+0.04+0.06
=0.31；
（2）∵X的可能取值為0，1，2，3，4；
∴P（X=0）=（1-0.6）×0.5²×（1-0.4）=0.06，
P（X=1）=0.6×0.5²×（1-0.4）+2×（1-0.6）×0.5²×（1-0.4）+（1-0.6）×0.5²×0.4
=0.25，
P（X=4）=0.6×0.5²×0.4=0.06；
由（1）知，P（X≥3）=P（X=3）+P（X=4）=0.31，
∴P（X=3）=0.31-0.06=0.25，
∴P（X=2）=1-P（X=0）-P（X=1）-P（X=3）-P（X=4）
=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38，
∴EX=0×P（X=0）+1×P（X=1）+2×P（X=2）+3×P（X=3）+4×P（X=4）
=0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06
=2．

點評：本題考查了相互對立事件的概率乘法公式的應用問題，也考查了離散型隨機變量的分布列與數學期望的應用問題，是中檔題目．