Question

已知函數(shù)f（x），g（x）都是定義在R上的函數(shù)，g（x）≠0，f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），且f（x）=a^x•g（x），

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

，數(shù)列{

f(n)

g(n)

}的前n項(xiàng)和為

15

16

，則n=（　�。�

• A、10
• B、8
• C、6
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由于f（x）=a^x•g（x），g（x）≠0，可得

f(x)

g(x)

=ax，由于f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），可得（a^x）′＜0，因此0＜a＜1．由于

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

，代入解得a=

1

2

．可得數(shù)列{

f(n)

g(n)

}的通項(xiàng)公式

f(n)

g(n)

=(

1

2

)n．利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和即可得出．

解答： 解：∵f（x）=a^x•g（x），g（x）≠0，
∴

f(x)

g(x)

=ax，
∵f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），
∴

f′(x)g(x)-f(x)g′(x)

g2(x)

=(ax)′＜0，
∴0＜a＜1．
∵

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

，
∴a+a-1=

5

2

，解得a=

1

2

．
∴數(shù)列{

f(n)

g(n)

}的通項(xiàng)公式

f(n)

g(n)

=(

1

2

)n．
∵此數(shù)列的前n項(xiàng)和為

15

16

，
∴

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=

15

16

，
解得n=4．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．