按照某學者的理論，假設一個人生產某產品單件成本為a元，如果他賣出該產品的單價為m元，則他的滿意度為
m
m+a
；如果他買進該產品的單價為n元，則他的滿意度為
n
n+a
．如果一個人對兩種交易（賣出或買進）的滿意度分別為h1和h2，則他對這兩種交易的綜合滿意度為
h1h2
．現(xiàn)假設甲生產A、B兩種產品的單件成本分別為12元和5元，乙生產A、B兩種產品的單件成本分別為3元和20元，設產品A、B的單價分別為mAm元和mB元，甲買進A與賣出B的綜合滿意度為h甲，乙賣出A與買進B的綜合滿意度為h乙．
（1）求h甲和h乙關于mA、mB的表達式；當mA=
3
5
mB時，求證：h甲=h乙；
（2）設mA=
3
5
mB，當mA、mB分別為多少時，甲、乙兩人的綜合滿意度均最大？最大的綜合滿意度為多少？
考點：函數(shù)模型的選擇與應用
專題：應用題,函數(shù)的性質及應用
分析：（1）表示出甲和乙的滿意度，整理出最簡形式，在條件mA=
3
5
mB時，表示出要證明的相等的兩個式子，得到兩個式子相等．
（2）在上一問表示出的結果中，整理出關于變量的符合基本不等式的形式，利用基本不等式求出兩個人滿意度最大時的結果，并且寫出等號成立的條件．
解答： 解：（1）h甲=
mA
mA+12
•
mB
mB+5
，h乙=
mA
mA+3
•
mB
mB+20
，mA∈[3，12]，mB∈[5，20]…3分
當mA=
3
5
mB時，h甲=
mB2
(mB+20)(mB+5)
，h乙=
mB2
(mB+5)(mB+20)
，
∴h甲=h乙…7分
（2）當mA=
3
5
mB時，h甲=
mB2
(mB+20)(mB+5)
=
1
100(
1
mB
)2+25•
1
mB
+1
，
由mB∈[5，20]得
1
mB
∈[
1
20
，
1
5
]，故當
1
mB
=
1
20
，
即mB=20，mA=12時，甲乙兩人同時取到最大的綜合滿意度為
10
5
…13分．
點評：本小題主要考查函數(shù)的概念、基本不等式等基礎知識，考查數(shù)學建模能力、抽象概括能力以及數(shù)學閱讀能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某學校團委組織生態(tài)興趣小組在學校的生態(tài)園種植了一批樹苗，為了解樹苗的生長情況，在這批樹苗中隨機抽取了50棵測量高度（單位：厘米），其統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表所示：
組別[35，45）[45，55）[55，65）[65，75）[75，85）[85，95]
頻數(shù)341315105
將頻率作為概率，解決下列問題：
（1）在這批樹苗中任取一棵，其高度不低于65厘米的概率是多少？
（2）為進一步了解這批樹苗的情況，再從高度在[35，45）中的樹苗A，B，C中移出2棵，從高度在[85，95]中的樹苗D，E，F(xiàn)，G，H中移出1棵進行試驗研究，則樹苗A和樹苗D同時被移出的概率是多少？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x），g（x）都是定義在R上的函數(shù)，g（x）≠0，f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），且f（x）=ax•g（x），
f(1)
g(1)
+
f(-1)
g(-1)
=
5
2
，數(shù)列{
f(n)
g(n)
}的前n項和為
15
16
，則n=（　�。�
A、10B、8C、6D、4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若三條直線l1：x-y=0；l2：x+y-2=0；l3：5x-ky-15=0圍成一個三角形，則k的取值范圍是（　　）
A、k∈R且k≠±5且k≠1
B、k∈R且k≠±5且k≠-10
C、k∈R且k≠±1且k≠0
D、k∈R且k≠±5

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在復平面上，一個正方形的三個頂點對應的復數(shù)分別是1+2i，-2+i，0，則第四個頂點對應的復數(shù)為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)y=2x與y=-
4
2x
關于直線
 
對稱．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知（1+ax）8=a0+a1x+…+a9x8，若a1+a2+…+a9=255，則實數(shù)a=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=cosx，g（x）=cos（x-
π
2
），則f（x）的圖象（　　）
A、與g（x）的圖象相同
B、與g（x）的圖象關于y軸對稱
C、向左平移
π
2
個單位，得到g（x）的圖象
D、向右平移
π
2
個單位，得到g（x）的圖象

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

化簡：
（1）
1
2
cosx-
3
2
sinx；
（2）
3
sinx+cosx；
（3）
2
（sinx-cosx）；
（4）
2
cosx-
6
sinx．

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