【題目】某化工廠擬建一個下部為圓柱，上部為半球的容器（如圖，圓柱高為h，半徑為r，不計厚度，單位：米），按計劃容積為72π立方米，且h≥2r，假設其建造費用僅與表面積有關（圓柱底部不計），已知圓柱部分每平方米的費用為2千元，半球部分每平方米4千元，設該容器的建造費用為y千元．

（Ⅰ）求y關于r的函數(shù)關系，并求其定義域；
（Ⅱ）求建造費用最小時的r．

【答案】解：（Ⅰ）由容積為72π立方米，得 ．

，解得0＜r≤3

又圓柱的側面積為 ，

半球的表面積為2πr2，

所以建造費用 ，定義域為（0，3]．

（Ⅱ） ，…（8分）

又0＜r≤3，所以y'≤0，所以建造費用 ，

在定義域（0，3]上單調(diào)遞減，所以當r=3時建造費用最小


【解析】（Ⅰ）根據(jù)題意由圓柱的體積可求出r的取值范圍，再利用幾何體的表面積等于圓柱的側面積加上半球的表面積進而得到建造費用的函數(shù)解析式。（Ⅱ）利用求導函數(shù)的增減性而得到該函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的最值。

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)的定義域為，求的取值范圍；

（2）設函數(shù)，若對任意，總有，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四面體中， 平面， ， ， ， .

（Ⅰ）求四面體的四個面的面積中，最大的面積是多少？

（Ⅱ）證明：在線段上存在點，使得，并求的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，一塊形狀為四棱柱的木料， 分別為的中點.

（1）要經(jīng)過和將木料鋸開，在木料上底面內(nèi)應怎樣畫線？請說明理由；

（2）若底面是邊長為2的菱形， ， 平面，且，求幾何體的體積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)對任意實數(shù)均有，其中常數(shù)為負數(shù)，且在區(qū)間上有表達式.

(1)寫出在上的表達式，并寫出函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間(不用過程，直接寫出即可)；

(2)求出在上的最小值與最大值，并求出相應的自變量的取值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知關于的函數(shù)為上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上的最大值為10. 設．

⑴ 求函數(shù)的解析式；

⑵ 若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

⑶ 是否存在實數(shù)，使得關于的方程有四個不相等的實 數(shù)根？如果存在，求出實數(shù)的范圍，如果不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某同學參加學校自主招生3門課程的考試，假設該同學第一門課程取得優(yōu)秀成績概率為 ，第二、第三門課程取得優(yōu)秀成績的概率分別為p，q（p＜q），且不同課程是否取得優(yōu)秀成績相互獨立，記ξ為該生取得優(yōu)秀成績的課程數(shù)，其分布列為

ξ

0

1

2

3

p

x

y

（Ⅰ）求該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率及求p，q的值；
（Ⅱ）求該生取得優(yōu)秀成績課程門數(shù)的數(shù)學期望Eξ．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】直三棱柱中， ， ， ，點是線段上的動點.

（1）當點是的中點時，求證： 平面；

（2）線段上是否存在點，使得平面平面？若存在，試求出的長度；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若三邊的長為連續(xù)的三個正整數(shù)，且A＞B＞C，3b=20acos A，則sin A：sin B：sin C為 ．

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