Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|2x+1|-|x-2|．
（1）解不等式f（x）＞0；
（2）已知關(guān)于x的不等式a+3＜f（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）把要解的不等式轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的3個(gè)不等式組，求出每個(gè)不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（2）由題意可得，a+1＜f_min（x），而由（1）可得f_min（x）=f（-

1

2

），從而求得a的范圍．

解答： 解：（1）等式f（x）＞0即|2x+1|-|x-2|＞0，
∴

x＜- 1 2 -2x-1-(2-x)＞0

①，或

- 1 2 ≤x＜2 2x+1-(2-x)＞0

，
或

x≥2 2x+1-(x-2)＞0

．
解①求得 x＜-3，解②求得

1

3

＜x＜2，解③求得x≥2，
故不等式的解集為（-∞，-3）∪（

1

3

，+∞）．
（2）由題意可得，a+1＜f_min（x），而由（1）可得f_min（x）=f（-

1

2

）=-

5

2

，
∴a+1＜-

5

2

，解得a＜-

7

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值，化為與之等價(jià)的不等式組來解，函數(shù)的恒成立問題，屬于基礎(chǔ)題．