Question

已知數(shù)列{a_n}，S_n是其前n項(xiàng)的和，且滿足3a_n=2S_n+n（n∈N^*）
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n+

1

2

}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）記T_n=S₁+S₂+…+S_n，求T_n的表達(dá)式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由3a_n=2S_n+n，類比可得3a_n-1=2S_n-1+n-1（n≥2），兩式相減，整理即證得數(shù)列{a_n+

1

2

}是以

3

2

為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a_n+

1

2

=

1

2

•3ⁿ⇒a_n=

1

2

（3ⁿ-1），S_n=

3n+1-3

4

-

n

2

，分組求和，利用等比數(shù)列與等差數(shù)列的求和公式，即可求得T_n的表達(dá)式．

解答： （Ⅰ）證明：∵3a_n=2S_n+n，
∴3a_n-1=2S_n-1+n-1（n≥2），
兩式相減得：3（a_n-a_n-1）=2a_n+1（n≥2），
∴a_n=3a_n-1+1（n≥2），
∴a_n+

1

2

=3（a_n-1+

1

2

），又a₁+

1

2

=

3

2

，
∴數(shù)列{a_n+

1

2

}是以

3

2

為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得a_n+

1

2

=

3

2

•3^n-1=

1

2

•3ⁿ，
∴a_n=

1

2

•3ⁿ-

1

2

=

1

2

（3ⁿ-1），
∴S_n=

1

2

[（3+3²+…+3ⁿ）-n]=

1

2

（

3(1-3n)

1-3

-n）=

3n+1-3

4

-

n

2

，
∴T_n=S₁+S₂+…+S_n=

1

4

（3²+3³+…+3ⁿ+3ⁿ⁺¹）-

3n

4

-

1

2

（1+2+…+n）
=

1

4

•

32(1-3n)

1-3

-

3n

4

-

(1+n)n

4

=

3n+2-9

8

-

n2+4n

4

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等比關(guān)系的確定，突出考查分組求和，熟練應(yīng)用等比數(shù)列與等差數(shù)列的求和公式是關(guān)鍵，屬于難題．