Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AB⊥BB₁，AC=BC=BB₁=2，D為AB的中點(diǎn)，且CD⊥DA₁．
（1）求證：BB₁⊥平面ABC．
（2）求證：BC₁∥平面CA₁D．
（3）求三棱錐C-A₁BD的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）先證明出CD⊥AB，進(jìn)而證明出CD⊥DA₁，DA₁則可利用線面垂直的判定定理證明出CD⊥平面ABB₁A₁，進(jìn)而可知BB₁⊥CD，最后根據(jù)線面垂直的判定定理證明出BB₁⊥平面ABC．
（2）先證明出BC₁∥DE，繼而根據(jù)線面平行的判定定理證明出BC₁∥平面CA₁D．
（3）先判斷出CD是三棱錐的高，進(jìn)而根據(jù)三棱錐的體積公式求得答案．

解答： 證明：（1）∵AC=BC，D為AB的中點(diǎn)，
∴CD⊥AB，
∵CD⊥DA₁，DA₁∩AB=D，
∴CD⊥平面ABB₁A₁，
∵BB₁⊥CD，BB₁⊥AB，
∴BB₁⊥平面ABC．
（2）連接AC₁交A₁C與E，連接DE，則BC₁∥DE，
∵DE?平面CA₁D，BC₁?平面CA₁D，
∴BC₁∥平面CA₁D．
（3）∵CD⊥ABB₁A₁，
∴CD是三棱錐的高，
在Rt△ABC中，AC=BC=2，
∴AB=2

2

，CD=

2

，
∴VC-A1BD=

1

3

S•CD=

1

6

×

2

×2×

2

=

2

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查了線面平行和線面垂直的判定定理的應(yīng)用，三棱錐體積的計(jì)算．考查了學(xué)生立體幾何 綜合素質(zhì)．